Unit VII Important Topics:
- Measures of Dispersion: Meaning & Importance
- Range and Coefficient of Range
- Quartile Deviation (QD) and Coefficient of QD
Dispersion helps to understand the reliability of the average. A low dispersion means the average is more representative of the data.
What is Dispersion?
Dispersion measures the degree of variation in a distribution. It measures the extent to which the items vary from some central value (averages).
In simple terms: It tells us whether data points are bunched up or scattered.
Methods of Studying Dispersion
- Range
- Quartile Deviation
- Mean Deviation
- Standard Deviation
In this chapter, we focus on Range and Quartile Deviation.
1. Range
Range is the simplest measure of dispersion. It is the difference between the highest and the lowest value in a series.
Formula: Range = L – S
Where L = Largest value, S = Smallest value.
Coefficient of Range: (L – S) / (L + S)
The coefficient makes it easier to compare dispersion between different data sets.
Calculate Range and its coefficient for: 25, 32, 85, 42, 10, 20, 18, 28
Solution:
Largest (L) = 85, Smallest (S) = 10
Range = 85 – 10 = 75
Coefficient of Range = (85 – 10) / (85 + 10) = 75 / 95 = 0.79
Price of Orange in 100 shops:
| Price | No. of Shops |
|---|---|
| 45 | 6 |
| 47 | 5 |
| 50 | 35 |
| 52 | 25 |
L = 52, S = 45
Range = 52 – 45 = 7
Coefficient = (52 – 45) / (52 + 45) = 7 / 97 = 0.072
Monthly salary of 1000 employees:
| Salary | No. of Employees |
|---|---|
| 5000 - 10000 | 180 |
| 10000 - 15000 | 220 |
| 15000 - 20000 | 300 |
| 20000 - 25000 | 160 |
| 25000 - 30000 | 140 |
L = 30000 (upper limit of last class), S = 5000 (lower limit of first class)
Range = 30000 – 5000 = 25000
Coefficient = (30000 – 5000) / (30000 + 5000) = 25000 / 35000 = 0.83
Simple Hints: Range uses only two values (highest and lowest). It ignores how all other values are distributed.
2. Quartile Deviation (QD)
Quartile Deviation is based on quartiles. It measures the spread of the middle 50% of data.
Formula: QD = (Q₃ – Q₁) / 2
Coefficient of QD: (Q₃ – Q₁) / (Q₃ + Q₁)
Where Q₁ = First quartile (25th percentile), Q₃ = Third quartile (75th percentile).
How to find Q₁ and Q₃?
For Individual Observations:
Q₁ = Size of [(N+1)/4]th item
Q₃ = Size of [3(N+1)/4]th item
For Discrete/Continuous Series:
Use cumulative frequency to locate the class, then apply formula:
Q = L + [(N/4 – cf) / f] × i
(where L=lower limit, cf=cumulative frequency before class, f=frequency of class, i=class interval)
Find QD for marks: 20, 28, 40, 12, 30, 15, 50
Solution:
Step 1: Arrange in ascending order: 12, 15, 20, 28, 30, 40, 50
Step 2: N = 7
Q₁ = Size of [(7+1)/4] = 2nd item = 15
Q₃ = Size of [3(7+1)/4] = 6th item = 40
QD = (40 – 15) / 2 = 12.5
Coefficient = (40 – 15) / (40 + 15) = 25/55 = 0.455
| Marks | No. of Students | cf |
|---|---|---|
| 10 | 4 | 4 |
| 20 | 7 | 11 |
| 30 | 15 | 26 |
| 40 | 8 | 34 |
| 50 | 7 | 41 |
| 60 | 2 | 43 |
N = 43
Q₁ = Size of [(43+1)/4] = 11th item → falls in cf 11 → marks = 20
Q₃ = Size of [3(43+1)/4] = 33rd item → falls in cf 34 → marks = 40
QD = (40 – 20) / 2 = 10
Coefficient = (40 – 20) / (40 + 20) = 20/60 = 0.33
| Wages | No. of Workers | cf |
|---|---|---|
| 20-25 | 2 | 2 |
| 25-30 | 10 | 12 |
| 30-35 | 25 | 37 |
| 35-40 | 16 | 53 |
| 40-45 | 7 | 60 |
Q₁: N/4 = 15 → falls in class 30-35
Q₁ = 30 + [(15 – 12)/25] × 5 = 30 + 0.6 = 30.6
Q₃: 3N/4 = 45 → falls in class 35-40
Q₃ = 35 + [(45 – 37)/16] × 5 = 35 + 2.5 = 37.5
QD = (37.5 – 30.6) / 2 = 3.45
Coefficient = (37.5 – 30.6) / (37.5 + 30.6) = 6.9/68.1 = 0.101
Simple Hints: QD uses middle 50% data, so extreme values (very high or very low) do not affect it much.
Wages: 100, 120, 80, 150, 200, 90, 130
Answer Structure:
1. Arrange data in ascending order.
2. For Range: Find L and S, apply formula.
3. For QD: Find Q₁ and Q₃ using (N+1)/4 and 3(N+1)/4, then apply QD formula.
Hint: N = 7, Q₁ = 2nd item, Q₃ = 6th item.
Important Exam Questions
- Define Range and Quartile Deviation. (2 marks)
- Calculate Coefficient of Range for given discrete series. (3 marks)
- Find Quartile Deviation and its coefficient for continuous series. (5 marks)
- Distinguish between Range and Quartile Deviation. (3 marks)
പ്രധാന പാഠഭാഗങ്ങൾ:
- പകീർണ്ണനം: അർത്ഥവും പ്രാധാന്യവും
- ശ്രേണിയും ശ്രേണിയുടെ ഗുണകവും
- ചതുര്ഥക വിചലനവും അതിന്റെ ഗുണകവും
പകീർണ്ണനം ശരാശരിയുടെ വിശ്വസനീയത മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. കുറഞ്ഞ പകീർണ്ണനം എന്നാൽ ശരാശരി ഡാറ്റയെ കൂടുതൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നർത്ഥം.
പകീർണ്ണനം എന്താണ്?
ഒരു വിതരണത്തിലെ മാറ്റത്തിൻ്റെ അളവാണ് പകീർണ്ണനം. മധ്യമൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പരിധി കാണിക്കുന്നു.
ലളിതമായി: ഡാറ്റ പോയിന്റുകൾ ഒത്തുകൂടിയാണോ അതോ ചിതറിയാണോ എന്ന് പറയുന്നു.
പകീർണ്ണനം പഠിക്കാനുള്ള രീതികൾ
- ശ്രേണി
- ചതുര്ഥക വിചലനം
- മാധ്യ വിചലനം
- സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ
ഈ പാഠഭാഗത്തിൽ ശ്രേണി യും ചതുര്ഥക വിചലനവും ആണ് പഠിക്കുന്നത്.
1. ശ്രേണി (Range)
ഏറ്റവും ലളിതമായ പകീർണ്ണന അളവാണ് ശ്രേണി. ഒരു ശ്രണിയിലെ ഏറ്റവും ഉയർന്നതും താഴ്ന്നതുമായ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണിത്.
സൂത്രവാക്യം: ശ്രേണി = L – S
L = ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം, S = ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം.
ശ്രേണിയുടെ ഗുണകം: (L – S) / (L + S)
വിവിധ ഡാറ്റ സെറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള പകീർണ്ണനം താരതമ്യം ചെയ്യാൻ ഗുണകം സഹായിക്കുന്നു.
25, 32, 85, 42, 10, 20, 18, 28 എന്നിവയ്ക്ക് ശ്രേണിയും ഗുണകവും കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം:
L = 85, S = 10
ശ്രേണി = 85 – 10 = 75
ഗുണകം = (85 – 10) / (85 + 10) = 75 / 95 = 0.79
1000 ജീവനക്കാരുടെ പ്രതിമാസ ശമ്പളം:
| ശമ്പളം | ജീവനക്കാരുടെ എണ്ണം |
|---|---|
| 5000 - 10000 | 180 |
| 10000 - 15000 | 220 |
| 15000 - 20000 | 300 |
| 20000 - 25000 | 160 |
| 25000 - 30000 | 140 |
L = 30000, S = 5000
ശ്രേണി = 30000 – 5000 = 25000
ഗുണകം = (30000 – 5000) / (30000 + 5000) = 25000 / 35000 = 0.83
ലളിത സൂചന: ശ്രേണി രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഉയർന്നതും താഴ്ന്നതും). മറ്റെല്ലാ മൂല്യങ്ങളും എങ്ങനെ വിതരണം ചെയ്തിരിക്കുന്നു എന്ന് അത് അവഗണിക്കുന്നു.
2. ചതുര്ഥക വിചലനം (QD)
ചതുര്ഥകങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ചതുര്ഥക വിചലനം. ഇത് ഡാറ്റയുടെ മധ്യ 50% എത്രമാത്രം വ്യാപിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് അളക്കുന്നു.
സൂത്രവാക്യം: QD = (Q₃ – Q₁) / 2
QD യുടെ ഗുണകം: (Q₃ – Q₁) / (Q₃ + Q₁)
Q₁ = ആദ്യ ചതുര്ഥകം (25ആം ശതമാനം), Q₃ = മൂന്നാം ചതുര്ഥകം (75ആം ശതമാനം).
Q₁ ഉം Q₃ ഉം എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം?
വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണങ്ങൾക്ക്:
Q₁ = [(N+1)/4] ആം ഇനത്തിൻ്റെ വലിപ്പം
Q₃ = [3(N+1)/4] ആം ഇനത്തിൻ്റെ വലിപ്പം
ഡിസ്ക്രീറ്റ്/സതത ശ്രണികൾക്ക്:
ക്യുമുലേറ്റീവ് ആവൃത്തി ഉപയോഗിച്ച് ക്ലാസ് കണ്ടുപിടിക്കുക, പിന്നെ സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക:
Q = L + [(N/4 – cf) / f] × i
(L=താഴ്ന്ന പരിധി, cf=ക്ലാസിനു മുമ്പുള്ള ക്യുമുലേറ്റീവ് ആവൃത്തി, f=ക്ലാസിൻ്റെ ആവൃത്തി, i=ക്ലാസ് ഇന്റർവെൽ)
മാർക്ക് 20, 28, 40, 12, 30, 15, 50 എന്നിവയ്ക്ക് QD കണ്ടുപിടിക്കുക.
പരിഹാരം:
ഘട്ടം 1: ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുക: 12, 15, 20, 28, 30, 40, 50
ഘട്ടം 2: N = 7
Q₁ = [(7+1)/4] = 2ആം ഇനം = 15
Q₃ = [3(7+1)/4] = 6ആം ഇനം = 40
QD = (40 – 15) / 2 = 12.5
ഗുണകം = (40 – 15) / (40 + 15) = 25/55 = 0.455
| കൂലി | തൊഴിലാളികൾ | cf |
|---|---|---|
| 20-25 | 2 | 2 |
| 25-30 | 10 | 12 |
| 30-35 | 25 | 37 |
| 35-40 | 16 | 53 |
| 40-45 | 7 | 60 |
Q₁: N/4 = 15 → 30-35 ക്ലാസിൽ പെടുന്നു
Q₁ = 30 + [(15 – 12)/25] × 5 = 30 + 0.6 = 30.6
Q₃: 3N/4 = 45 → 35-40 ക്ലാസിൽ പെടുന്നു
Q₃ = 35 + [(45 – 37)/16] × 5 = 35 + 2.5 = 37.5
QD = (37.5 – 30.6) / 2 = 3.45
ഗുണകം = (37.5 – 30.6) / (37.5 + 30.6) = 6.9/68.1 = 0.101
ലളിത സൂചന: QD മധ്യ 50% ഡാറ്റ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിനാൽ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ (വളരെ ഉയർന്നതോ താഴ്ന്നതോ) അതിനെ വളരെയധികം ബാധിക്കില്ല.
കൂലി: 100, 120, 80, 150, 200, 90, 130
ഉത്തര ഘടന:
1. ഡാറ്റ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുക.
2. ശ്രേണിക്ക്: L, S കണ്ടെത്തി സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക.
3. QD-ക്ക്: (N+1)/4, 3(N+1)/4 ഉപയോഗിച്ച് Q₁, Q₃ കണ്ടുപിടിച്ച് QD സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക.
സൂചന: N = 7, Q₁ = 2ആം ഇനം, Q₃ = 6ആം ഇനം.
പ്രധാന പരീക്ഷാ ചോദ്യങ്ങൾ
- ശ്രേണിയും ചതുര്ഥക വിചലനവും നിർവ്വചിക്കുക. (2 മാർക്ക്)
- തന്നിരിക്കുന്ന ഡിസ്ക്രീറ്റ് ശ്രണിക്ക് ശ്രേണിയുടെ ഗുണകം കണക്കാക്കുക. (3 മാർക്ക്)
- സതത ശ്രണിക്ക് ചതുര്ഥക വിചലനവും അതിന്റെ ഗുണകവും കണ്ടുപിടിക്കുക. (5 മാർക്ക്)
- ശ്രേണിയും ചതുര്ഥക വിചലനവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വിവരിക്കുക. (3 മാർക്ക്)
