📘 Chapter 5 Important Topics: Measures of Central Tendency (കേന്ദ്ര പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ), Arithmetic Mean (സമാന്തര മാധ്യം) – Direct, Assumed Mean, Step Deviation Methods, Weighted Mean, Median (മധ്യമം) – Individual, Discrete, Continuous Series, Quartiles (ചതുർത്ഥകങ്ങൾ), Mode (ബഹുലകം) – Individual, Discrete, Continuous Series, Relative Position of Mean, Median & Mode
- Central tendency gives a single representative value for a data set.
- Arithmetic mean is the sum of all observations divided by number of observations.
- Mean is affected by extreme values; median and mode are not.
- Median is the middle value when data is arranged in order.
- Mode is the most frequently occurring value.
- Quartiles divide data into four equal parts (Q1, Q2, Q3).
Chapter-5
Measures of Central Tendency (കേന്ദ്ര പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ)
Introduction (ആമുഖം)
In the previous chapter, you have read about the tabular and graphic representation of the data. In this chapter, you will study the measures of central tendency which is a numerical method to explain the data in brief. You can see examples of summarising a large set of data in day-to-day life, like average marks obtained by students of a class in a test, average rainfall in an area, average production in a factory, average income of persons living in a locality or working in a firm, etc.
കഴിഞ്ഞ അധ്യായത്തിൽ, ഡാറ്റയുടെ പട്ടികപരവും ഗ്രാഫിക്കൽ അവതരണവും നിങ്ങൾ വായിച്ചു. ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഡാറ്റയെ ചുരുക്കത്തിൽ വിശദീകരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാ രീതിയായ കേന്ദ്ര പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ നിങ്ങൾ പഠിക്കും. ഒരു ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഒരു ടെസ്റ്റിൽ ലഭിച്ച ശരാശരി മാർക്ക്, ഒരു പ്രദേശത്തെ ശരാശരി മഴ, ഒരു ഫാക്ടറിയിലെ ശരാശരി ഉൽപ്പാദനം, ഒരു പ്രദേശത്ത് താമസിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്ഥാപനത്തിൽ ജോലി ചെയ്യുന്ന വ്യക്തികളുടെ ശരാശരി വരുമാനം തുടങ്ങിയ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ഒരു വലിയ ഡാറ്റാ ശേഖരം സംഗ്രഹിക്കുന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.
The three most commonly used averages are: Arithmetic Mean, Median, Mode.
ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂന്ന് ശരാശരികൾ ഇവയാണ്: സമാന്തര മാധ്യം, മധ്യമം, ബഹുലകം.
Arithmetic Mean (സമാന്തര മാധ്യം)
Arithmetic mean is the most commonly used measure of central tendency. It is defined as the sum of the values of all observations divided by the number of observations and is usually denoted by X̄.
സമാന്തര മാധ്യമാണ് ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന കേന്ദ്ര പ്രവണതയുടെ അളവ്. ഇത് എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന് തുല്യമാണ്, ഇത് സാധാരണയായി X̄ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
Formula: X̄ = (X₁ + X₂ + X₃ + ... + Xɴ) / N = ΣX / N
സൂത്രവാക്യം: X̄ = (X₁ + X₂ + X₃ + ... + Xɴ) / N = ΣX / N
Example 1 (Direct Method):
Marks of students: 40, 50, 55, 78, 58
X̄ = (40 + 50 + 55 + 78 + 58) / 5 = 281 / 5 = 56.2 marks
വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാർക്ക്: 40, 50, 55, 78, 58
X̄ = (40 + 50 + 55 + 78 + 58) / 5 = 281 / 5 = 56.2 മാർക്ക്
Assumed Mean Method (ഊഹിച്ച മാധ്യ രീതി)
X̄ = A + (Σd / N), where d = X - A, A = assumed mean
X̄ = A + (Σd / N), ഇവിടെ d = X - A, A = ഊഹിച്ച മാധ്യം
Step Deviation Method (പടി വ്യതിയാന രീതി)
X̄ = A + (Σd′ / N) × c, where d′ = (X - A) / c, c = common factor
X̄ = A + (Σd′ / N) × c, ഇവിടെ d′ = (X - A) / c, c = പൊതു ഘടകം
Arithmetic Mean for Grouped Data (Discrete Series) - വർഗ്ഗീകൃത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള സമാന്തര മാധ്യം (വിച്ഛിന്ന ശ്രേണി)
Formula: X̄ = ΣfX / Σf
Example 3: Plot sizes: 100 sqm (200 plots), 200 sqm (50 plots), 300 sqm (10 plots)
| Plot size (X) | No. of plots (f) | fX |
|---|---|---|
| 100 | 200 | 20000 |
| 200 | 50 | 10000 |
| 300 | 10 | 3000 |
| Total | Σf = 260 | ΣfX = 33000 |
X̄ = 33000 / 260 = 126.92 sq. metre
Arithmetic Mean for Continuous Series (തുടർച്ചയായ ശ്രേണിക്കുള്ള സമാന്തര മാധ്യം)
Mid values (m) are used. Formula: X̄ = Σfm / Σf
Example 4: Marks of students
| Marks | No. of students (f) | Mid value (m) | fm |
|---|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 5 | 25 |
| 10-20 | 12 | 15 | 180 |
| 20-30 | 15 | 25 | 375 |
| 30-40 | 25 | 35 | 875 |
| 40-50 | 8 | 45 | 360 |
| 50-60 | 3 | 55 | 165 |
| 60-70 | 2 | 65 | 130 |
| Total | Σf = 70 | Σfm = 2110 |
X̄ = 2110 / 70 = 30.14 marks
• Sum of deviations from mean is zero: Σ(X - X̄) = 0 (മാധ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്)
• Mean is affected by extreme values. (മാധ്യം അതിരറ്റ മൂല്യങ്ങളാൽ ബാധിക്കപ്പെടുന്നു.)
Weighted Arithmetic Mean (ഭാരിത സമാന്തര മാധ്യം)
When items have different importance, weights are assigned. Formula: X̄w = Σwx / Σw
ഇനങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത പ്രാധാന്യമുള്ളപ്പോൾ, ഭാരങ്ങൾ നൽകുന്നു. സൂത്രവാക്യം: X̄w = Σwx / Σw
Median (മധ്യമം)
Median is that positional value which divides the distribution into two equal parts.
വിതരണത്തെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന സ്ഥാന മൂല്യമാണ് മധ്യമം.
Individual Series (വ്യക്തിഗത ശ്രേണി)
Arrange data in ascending order. Median = size of (N+1)/2 th item.
ഡാറ്റ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുക. മധ്യമം = (N+1)/2 -ാമത്തെ ഇനത്തിന്റെ വലുപ്പം.
Example 5: 5, 7, 6, 1, 8, 10, 12, 4, 3 → Ascending: 1,3,4,5,6,7,8,10,12. Median = 6
Example 6 (Even N): 25, 28, 29, 30, 32, 33, 33, 35, 42, 45, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 60, 65, 72. Median = (45 + 46)/2 = 45.5 marks
Discrete Series (വിച്ഛിന്ന ശ്രേണി)
Calculate cumulative frequency. Find (N+1)/2 th item. Locate it in cumulative frequency.
സഞ്ചിത ആവൃത്തി കണക്കാക്കുക. (N+1)/2 -ാമത്തെ ഇനം കണ്ടെത്തുക. സഞ്ചിത ആവൃത്തിയിൽ അത് കണ്ടെത്തുക.
Example 7: Income (Rs): 10, 20, 30, 40; Persons: 2, 4, 10, 4
| Income | f | cf |
|---|---|---|
| 10 | 2 | 2 |
| 20 | 4 | 6 |
| 30 | 10 | 16 |
| 40 | 4 | 20 |
(N+1)/2 = (20+1)/2 = 10.5th item lies in cf 16. Median income = Rs 30
Continuous Series (തുടർച്ചയായ ശ്രേണി)
Formula: Median = L + [(N/2 - cf) / f] × h
സൂത്രവാക്യം: മധ്യമം = L + [(N/2 - cf) / f] × h
where L = lower limit of median class, cf = cumulative frequency of class preceding median class, f = frequency of median class, h = class interval.
Example 8: Daily wages of workers
| Daily wages (Rs) | No. of workers (f) | cf |
|---|---|---|
| 20-25 | 14 | 14 |
| 25-30 | 28 | 42 |
| 30-35 | 33 | 75 |
| 35-40 | 30 | 105 |
| 40-45 | 20 | 125 |
| 45-50 | 15 | 140 |
| 50-55 | 13 | 153 |
| 55-60 | 7 | 160 |
N/2 = 160/2 = 80th item lies in class 35-40.
Median = 35 + [(80 - 75)/30] × 5 = 35 + (5/30)×5 = 35 + 0.83 = Rs 35.83
Quartiles (ചതുർത്ഥകങ്ങൾ)
Q₁ = size of (N+1)/4 th item (lower quartile)
Q₃ = size of 3(N+1)/4 th item (upper quartile)
Example 9: Marks: 11,12,14,18,22,26,30,32,35,41
Q₁ = size of (10+1)/4 = 2.75th item = 12 + 0.75(14-12) = 12 + 1.5 = 13.5 marks
Simple Hints (ലളിതമായ സൂചനകൾ): Mean = (1+2+3+100)/4 = 26.5, which is higher than most values. Median = (2+3)/2 = 2.5, which is more typical. Median is better when extreme values are present.
മാധ്യം = (1+2+3+100)/4 = 26.5, ഇത് മിക്ക മൂല്യങ്ങളേക്കാളും ഉയർന്നതാണ്. മധ്യമം = (2+3)/2 = 2.5, ഇത് കൂടുതൽ സാധാരണമാണ്. അതിരറ്റ മൂല്യങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ മധ്യമമാണ് നല്ലത്.
Mode (ബഹുലകം)
Mode is the most frequently observed value in the data set.
ഡാറ്റാ ശേഖരത്തിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ തവണ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന മൂല്യമാണ് ബഹുലകം.
Discrete Series (വിച്ഛിന്ന ശ്രേണി)
Example 10: Variable: 10,20,30,40,50; Frequency: 2,8,20,10,5. Mode = 30 (highest frequency 20)
Continuous Series (തുടർച്ചയായ ശ്രേണി)
Formula: M₀ = L + [D₁ / (D₁ + D₂)] × h
സൂത്രവാക്യം: M₀ = L + [D₁ / (D₁ + D₂)] × h
where L = lower limit of modal class, D₁ = frequency of modal class - frequency of preceding class, D₂ = frequency of modal class - frequency of succeeding class, h = class interval.
Example 11: From the cumulative frequency distribution, modal class is 25-30 (frequency 30).
L = 25, D₁ = 30 - 18 = 12, D₂ = 30 - 20 = 10, h = 5
M₀ = 25 + [12 / (12+10)] × 5 = 25 + (12/22)×5 = 25 + 2.727 = 27.273 (in '000 Rs) = Rs 27,273
Relative Position of Mean, Median, Mode (മാധ്യം, മധ്യമം, ബഹുലകം എന്നിവയുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം)
In a moderately skewed distribution, the relationship is: Mode = 3 Median - 2 Mean
മിതമായ ചരിഞ്ഞ വിതരണത്തിൽ, ബന്ധം: ബഹുലകം = 3 × മധ്യമം - 2 × മാധ്യം
Median lies between mean and mode.
Answer Structure (ഉത്തര ഘടന):
• Prepare table with X, f, fX. (X, f, fX എന്നിവയുള്ള പട്ടിക തയ്യാറാക്കുക.)
• X = 10, f=2, fX=20; X=20, f=5, fX=100; X=30, f=8, fX=240; X=40, f=4, fX=160; X=50, f=1, fX=50.
• Σf = 20, ΣfX = 570.
• X̄ = ΣfX / Σf = 570 / 20 = 28.5 marks.
Answer Structure (ഉത്തര ഘടന):
• Prepare cumulative frequency table: cf: 5,13,25,35,40. (സഞ്ചിത ആവൃത്തി പട്ടിക തയ്യാറാക്കുക.)
• N = 40, N/2 = 20. Median class is 20-30 (cf 13 to 25). (മധ്യമ വർഗ്ഗം 20-30 ആണ്.)
• L = 20, cf = 13, f = 12, h = 10.
• Median = 20 + [(20 - 13)/12] × 10 = 20 + (7/12)×10 = 20 + 5.83 = 25.83 marks.
Answer Structure (ഉത്തര ഘടന):
• Mode is the most frequent value. (ഏറ്റവും കൂടുതൽ തവണ വരുന്ന മൂല്യമാണ് ബഹുലകം.)
• In the given data, 4 occurs 3 times, others occur less. (നൽകിയ ഡാറ്റയിൽ, 4 മൂന്ന് തവണ വരുന്നു.)
• Therefore, mode = 4.
Source: kest105.pdf - NCERT Economics (Statistics for Economics), Chapter 5: Measures of Central Tendency
```