Unit VIII Important Topics:
- Definition and Meaning of Correlation
- Types of Correlation
- Karl Pearson's Coefficient of Correlation
If both variables move in the same direction, it's positive correlation. If they move in opposite directions, it's negative correlation.
What is Correlation?
Correlation means relationship between two or more variables. The two or more variables are said to be correlated if changes in one variable induces changes in other variables.
Types of Correlation
1. Simple, Multiple and Partial Correlation
Simple Correlation: Relationship between two variables only.
Multiple Correlation: Relationship between one variable and a number of other variables.
Partial Correlation: Relationship between two variables while keeping the influence of other variables constant.
2. Positive and Negative Correlation
Positive Correlation: When one variable increases, the other also increases. Both move in the same direction.
Negative Correlation: When one variable increases, the other decreases. They move in opposite directions.
3. Perfect and Imperfect Correlation
Perfect Correlation: When change in one variable results in change in another variable at the same rate in either direction.
Imperfect Correlation: When change in one variable results in change in another variable at different rates.
4. Linear and Non-Linear Correlation
Linear Correlation: When change in one variable bears a constant ratio to the change in the other variable.
Non-Linear Correlation: When change in one variable does not bear a constant ratio to the change in the other variable.
Karl Pearson's Coefficient of Correlation (r)
This is the most widely used method to measure correlation.
Formula: r = Σxy / √(Σx² × Σy²)
Where: x = (X - X̄), y = (Y - Ȳ)
Interpretation of 'r':
- r = +1: Perfect positive correlation
- Between +1 and 0: Imperfect positive correlation
- r = 0: No correlation
- Between 0 and -1: Imperfect negative correlation
- r = -1: Perfect negative correlation
| X | Y |
|---|---|
| 28 | 22 |
| 37 | 32 |
| 40 | 33 |
| 38 | 34 |
| 35 | 30 |
| 33 | 26 |
| 40 | 29 |
| 32 | 31 |
| 34 | 34 |
| 33 | 38 |
Step 1: Find means:
X̄ = ΣX/N = 350/10 = 35
Ȳ = ΣY/N = 310/10 = 31
Step 2: Calculate deviations and squares:
| X | x=(X-X̄) | x² | Y | y=(Y-Ȳ) | y² | xy |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 28 | -7 | 49 | 22 | -9 | 81 | +63 |
| 37 | +2 | 4 | 32 | +1 | 1 | +2 |
| 40 | +5 | 25 | 33 | +2 | 4 | +10 |
| 38 | +3 | 9 | 34 | +3 | 9 | +9 |
| 35 | 0 | 0 | 30 | -1 | 1 | 0 |
| 33 | -2 | 4 | 26 | -5 | 25 | +10 |
| 40 | +5 | 25 | 29 | -2 | 4 | -10 |
| 32 | -3 | 9 | 31 | 0 | 0 | 0 |
| 34 | -1 | 1 | 34 | +3 | 9 | -3 |
| 33 | -2 | 4 | 38 | +7 | 49 | -14 |
| Total | 130 | 166 | +67 |
r = Σxy / √(Σx² × Σy²) = 67 / √(130 × 166)
r = 67 / √21580 = 67 / 146.9 = 0.456
Interpretation: There is a moderate positive correlation (r = 0.456).
Simple Hints: Check the interpretation scale. Values close to +1 indicate strong positive correlation.
X: 10, 20, 30, 40, 50
Y: 20, 40, 60, 80, 100
Answer Structure:
1. Calculate means of X and Y
2. Find deviations (x and y)
3. Calculate x², y², and xy
4. Apply formula: r = Σxy / √(Σx² × Σy²)
Hint: This is a perfect positive correlation (r = +1).
Important Exam Questions
- Define correlation and its types (4 marks)
- Distinguish between positive and negative correlation (3 marks)
- Calculate Karl Pearson's coefficient from given data (5 marks)
- Interpret the value of 'r' when r = -0.8, 0, +0.3 (3 marks)
പ്രധാന പാഠഭാഗങ്ങൾ:
- സഹബന്ധത്തിന്റെ നിർവ്വചനവും അർത്ഥവും
- സഹബന്ധത്തിന്റെ തരങ്ങൾ
- കാൾ പിയർസന്റെ സഹബന്ധ ഗുണകം
രണ്ട് ചരങ്ങളും ഒരേ ദിശയിൽ നീങ്ങുന്നെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് സഹബന്ധം. എതിർ ദിശയിൽ നീങ്ങുന്നെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് സഹബന്ധം.
സഹബന്ധം എന്താണ്? (Correlation)
രണ്ടോ അതിലധികമോ ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് സഹബന്ധം. ഒരു ചരത്തിലെ മാറ്റം മറ്റൊരു ചരത്തിലെ മാറ്റത്തിന് കാരണമാകുന്നെങ്കിൽ അവ സഹബന്ധിതമാണെന്ന് പറയാം.
സഹബന്ധത്തിന്റെ തരങ്ങൾ
1. സാദ്ധ്യ, ബഹുവിധ, ഭാഗിക സഹബന്ധം
സാദ്ധ്യ സഹബന്ധം: രണ്ട് ചരങ്ങൾ മാത്രം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
ബഹുവിധ സഹബന്ധം: ഒരു ചരവും മറ്റ് നിരവധി ചരങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
ഭാഗിക സഹബന്ധം: മറ്റ് ചരങ്ങളുടെ സ്വാധീനം സ്ഥിരമായി നിർത്തി രണ്ട് ചരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
2. പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സഹബന്ധം
പോസിറ്റീവ് സഹബന്ധം: ഒരു ചരം വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ മറ്റൊന്നും വർദ്ധിക്കുന്നു. രണ്ടും ഒരേ ദിശയിൽ നീങ്ങുന്നു.
നെഗറ്റീവ് സഹബന്ധം: ഒരു ചരം വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ മറ്റൊന്ന് കുറയുന്നു. എതിർ ദിശയിൽ നീങ്ങുന്നു.
3. പൂർണ്ണ, അപൂർണ്ണ സഹബന്ധം
പൂർണ്ണ സഹബന്ധം: ഒരു ചരത്തിലെ മാറ്റം മറ്റൊരു ചരത്തിലേക്ക് രണ്ടു ദിശയിലേക്കും ഒരേ നിരക്കിൽ സംഭവിക്കുന്നു.
അപൂർണ്ണ സഹബന്ധം: ഒരു ചരത്തിലെ മാറ്റം മറ്റൊരു ചരത്തിലേക്ക് രണ്ടു ദിശയിലേക്കും വ്യത്യസ്ത നിരക്കിൽ സംഭവിക്കുന്നു.
4. രേഖീയ, അരേഖീയ സഹബന്ധം
രേഖീയ സഹബന്ധം: ഒരു ചരത്തിലെ മാറ്റം മറ്റൊരു ചരത്തിലെ മാറ്റത്തിലേക്ക് ഒരു സ്ഥിരാനുപാതം വഹിക്കുന്നു.
അരേഖീയ സഹബന്ധം: ഒരു ചരത്തിലെ മാറ്റം മറ്റൊരു ചരത്തിലെ മാറ്റത്തിലേക്ക് ഒരു സ്ഥിരാനുപാതം വഹിക്കുന്നില്ല.
കാൾ പിയർസന്റെ സഹബന്ധ ഗുണകം (r)
സഹബന്ധം അളക്കാൻ ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതിയാണിത്.
സൂത്രവാക്യം: r = Σxy / √(Σx² × Σy²)
ഇവിടെ: x = (X - X̄), y = (Y - Ȳ)
'r' ന്റെ വ്യാഖ്യാനം:
- r = +1: പൂർണ്ണ പോസിറ്റീവ് സഹബന്ധം
- +1 ഉം 0 ഉം ഇടയിൽ: അപൂർണ്ണ പോസിറ്റീവ് സഹബന്ധം
- r = 0: സഹബന്ധം ഇല്ല
- 0 ഉം -1 ഉം ഇടയിൽ: അപൂർണ്ണ നെഗറ്റീവ് സഹബന്ധം
- r = -1: പൂർണ്ണ നെഗറ്റീവ് സഹബന്ധം
| X | Y |
|---|---|
| 28 | 22 |
| 37 | 32 |
| 40 | 33 |
| 38 | 34 |
| 35 | 30 |
| 33 | 26 |
| 40 | 29 |
| 32 | 31 |
| 34 | 34 |
| 33 | 38 |
ഘട്ടം 1: മാധ്യങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കുക:
X̄ = ΣX/N = 350/10 = 35
Ȳ = ΣY/N = 310/10 = 31
ഘട്ടം 2: വിചലനങ്ങളും വർഗ്ഗങ്ങളും കണക്കാക്കുക:
Σx² = 130, Σy² = 166, Σxy = +67
ഘട്ടം 3: സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക:
r = 67 / √(130 × 166) = 67 / √21580 = 67 / 146.9 = 0.456
വ്യാഖ്യാനം: ശരാശരി പോസിറ്റീവ് സഹബന്ധമുണ്ട് (r = 0.456).
ലളിത സൂചന: വ്യാഖ്യാന സ്കെൽ പരിശോധിക്കുക. +1 നോട് അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങൾ ശക്തമായ പോസിറ്റീവ് സഹബന്ധം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
X: 10, 20, 30, 40, 50
Y: 20, 40, 60, 80, 100
ഉത്തര ഘടന:
1. X, Y എന്നിവയുടെ മാധ്യം കണ്ടുപിടിക്കുക
2. വിചലനങ്ങൾ (x, y) കണ്ടുപിടിക്കുക
3. x², y², xy കണക്കാക്കുക
4. സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക: r = Σxy / √(Σx² × Σy²)
സൂചന: ഇത് പൂർണ്ണ പോസിറ്റീവ് സഹബന്ധമാണ് (r = +1).
പ്രധാന പരീക്ഷാ ചോദ്യങ്ങൾ
- സഹബന്ധവും അതിന്റെ തരങ്ങളും നിർവ്വചിക്കുക (4 മാർക്ക്)
- പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സഹബന്ധം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വിവരിക്കുക (3 മാർക്ക്)
- തന്നിരിക്കുന്ന ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കാൾ പിയർസന്റെ ഗുണകം കണക്കാക്കുക (5 മാർക്ക്)
- r = -0.8, 0, +0.3 ആയാൽ അത് എന്താണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് (3 മാർക്ക്)
